Day 81 호평동 · 남양주 중급

[호평동 수학학원] 순환소수는 어떻게 분수로 바꾸나요? 호평동 중학 수학 개념 정리

바꿈 수학학원

2026년 9월 25일 · 09.25

핵심 개념

순환소수는 소수점 아래 어떤 자리부터 일정한 숫자 배열이 끝없이 반복되는 소수를 말합니다. 예를 들어 0.333...은 3이 계속 반복되고, 0.454545...는 45가 반복됩니다. 이런 소수는 끝없이 이어지지만 신기하게도 항상 분수로 정확히 표현할 수 있습니다. 이 사실이 중요한 이유는 순환소수가 유리수라는 것을 보여주기 때문입니다. 유리수는 정수 ÷ 정수 꼴로 나타낼 수 있는 수인데, 순환소수도 결국 그렇게 정리가 됩니다.

순환소수를 분수로 바꾸는 기본 아이디어는 같은 소수를 10배, 100배 해서 두 식을 빼면 반복되는 부분이 사라진다는 데 있습니다. 이 과정을 문자로 두고 방정식처럼 풀면 순환마디의 길이에 따라 분모에 9, 99, 990 같은 수가 등장하는 규칙을 발견할 수 있습니다. 이 규칙을 이해하면 직접 계산 과정을 거치지 않고도 공식으로 바로 분수를 만들 수 있습니다.

이 단원은 중학교 수학에서 유리수와 순환소수의 관계를 배우는 자리에서 다룹니다. 정수와 유한소수, 순환소수가 모두 분수로 나타난다는 것을 확인하면서 수의 체계를 넓혀가는 과정이라 볼 수 있습니다. 학교에 따라 이 내용을 다루는 시기나 비중은 다를 수 있습니다.

분모에 9가 몇 개, 0이 몇 개 붙는지는 순환마디가 소수점 바로 아래서 시작하는지, 아니면 몇 자리 뒤에서 시작하는지에 따라 달라집니다. 이 차이를 정확히 구분하는 것이 이 단원의 핵심입니다.

공식과 패턴

구분	공식·형태	예시	주의
기본형 (순환마디가 소수점 바로 다음부터)	x = 0.abcabc... 이면 (순환마디가 n자리) 분모는 9가 n개	0.abcabc... = abc999 (abc는 세 자리 숫자를 나타냄)	소수점 바로 다음 자리부터 반복이 시작될 때만 이 형태를 바로 쓸 수 있습니다.
확장형 (순환하지 않는 부분이 있을 때)	분모는 9가 순환마디 자릿수만큼, 0이 순환하지 않는 자릿수만큼	0.1666... = 16-190 = 1590 = 16	분자는 (소수점 아래 전체 숫자) 빼기 (순환하지 않는 부분의 숫자)로 계산합니다.
응용형 (직접 방정식 세우기)	x = 순환소수로 두고 10ⁿx - x 형태로 반복 부분을 소거	x = 0.7777... 이면 10x - x = 9x = 7, x = 79	공식이 헷갈릴 때는 이 방법으로 처음부터 다시 유도하면 실수를 줄일 수 있습니다.

난이도별 예제

기초

Q.0.5555...를 분수로 나타내세요.

x = 0.5555...로 두면 10x = 5.5555.... 두 식을 빼면 9x = 5, x = 59

Q.0.222...를 분수로 나타내세요.

x = 0.222...로 두면 10x = 2.222.... 10x - x = 9x = 2, x = 29

중급

Q.0.454545...를 분수로 나타내세요.

순환마디가 45로 두 자리이므로 x = 4599. 약분하면 4599 = 511

Q.0.1333...을 분수로 나타내세요.

소수점 아래 첫 자리 1은 순환하지 않고 3만 반복됩니다. 분자는 13 - 1 = 12, 분모는 9(순환마디 1자리)와 0(비순환 1자리)이 합쳐진 90입니다. 따라서 1290 = 215

심화

Q.0.999...가 1과 같음을 방정식을 세워 보이세요.

x = 0.999...로 두면 10x = 9.999.... 10x - x = 9x = 9, x = 1. 따라서 0.999... = 1입니다.

Q.0.3181818...을 분수로 나타내세요.

소수점 아래 3은 순환하지 않고 18이 반복됩니다. 분자는 318 - 3 = 315, 분모는 9가 2개(순환마디 2자리), 0이 1개(비순환 1자리)로 990입니다. 315990을 약분하면 722

시험 핵심 포인트

순환마디가 소수점 바로 다음부터 시작하는지, 몇 자리 뒤에서 시작하는지 먼저 확인합니다.
분모의 9의 개수는 순환마디의 자릿수, 0의 개수는 비순환 부분의 자릿수와 같습니다.
분자는 (소수점 아래 전체 자연수 부분) 빼기 (비순환 부분의 자연수)로 계산합니다.
방정식으로 직접 유도하는 방법(10ⁿx - x)을 알아두면 공식을 잊어도 풀 수 있습니다.
마지막에 반드시 기약분수로 약분했는지 확인합니다.
0.999...=1처럼 직관과 다른 결과가 나올 수 있다는 점을 알아둡니다.

자주 묻는 질문

순환소수는 왜 분수로 바꿀 수 있나요?

순환소수는 일정한 숫자 배열이 끝없이 반복되는 규칙을 가지고 있기 때문입니다. 같은 소수를 10배, 100배 해서 빼는 방법을 쓰면 반복되는 부분이 정확히 사라지면서 유한한 식이 남습니다. 그 식을 정리하면 정수 ÷ 정수 꼴의 분수가 만들어지므로, 순환소수는 항상 유리수입니다.

순환마디가 소수점 바로 다음부터 시작할 때와 몇 자리 뒤에서 시작할 때 공식이 다른가요?

네, 다릅니다. 순환마디가 소수점 바로 다음부터 시작하면 분모에 9만 순환마디 자릿수만큼 붙지만, 중간에 순환하지 않는 숫자가 있으면 분모에 9와 0이 함께 붙는 형태가 됩니다. 이 차이를 구분하는 것이 계산의 핵심입니다.

0.999...는 1과 같은가요?

네, 같습니다. 0.999...를 x로 두고 10x - x를 계산하면 9x = 9가 되어 x = 1이 나옵니다. 직관적으로는 다르게 느껴질 수 있지만 수학적으로는 정확히 같은 수입니다.

유한소수와 순환소수는 어떻게 구분하나요?

유한소수는 소수점 아래 자리가 끝나는 소수이고, 순환소수는 특정 숫자 배열이 끝없이 반복되는 소수입니다. 분수를 기약분수로 만들었을 때 분모가 2와 5의 거듭제곱으로만 이루어져 있으면 유한소수가 되고, 그 외의 소인수가 있으면 순환소수가 됩니다.

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