[호평동 바꿈영수학원] 약분을 성급하게 하다 틀리는 문제들
핵심 개념
분수 계산에서 가장 많이 나오는 실수 중 하나가 약분입니다. 약분 자체는 어려운 개념이 아닌데, 어디까지 약분해도 되는지를 헷갈리면서 틀리는 경우가 많습니다. 이 실수의 뿌리를 따라가 보면 대개 곱셈과 덧셈을 구분하지 못하는 데서 시작합니다.
예를 들어 69 같은 분수는 분자와 분모가 모두 3의 배수이니 3으로 나누어 23이 됩니다. 이건 누구나 잘합니다. 문제는 분자나 분모에 덧셈, 뺄셈이 섞여 있을 때입니다. a+6a+9 라는 식을 보면 무심코 6과 9를 3으로 나누고 싶은 마음이 듭니다. 그렇게 해서 a+2a+3 이라고 답을 내는 경우를 자주 봅니다.
하지만 이건 틀린 계산입니다. 실제로 a에 3을 넣어 확인해보면 원래 식은 912, 즉 34이 되는데, 잘못 약분한 식은 56이 되어 값이 완전히 달라집니다.
왜 이런 차이가 생길까요. 약분이라는 것은 분자 전체와 분모 전체를 같은 수로 나누는 것이지, 식의 일부분만 골라서 나누는 것이 아니기 때문입니다. 69에서 3으로 나눌 수 있는 이유는 6도 3×2이고 9도 3×3이어서, 분자와 분모 전체가 3을 인수로 가지고 있기 때문입니다.
그런데 a+6은 a와 6의 합이지 3의 배수라는 보장이 없습니다. a라는 문자가 곱해진 형태가 아니라 더해진 형태이기 때문에, 6만 따로 떼어 3으로 나눌 수 없는 것입니다.
그래서 약분을 하기 전에 분자와 분모를 곱셈 형태로 바꾸는 과정, 즉 인수분해가 먼저 필요합니다. 예를 들어 3a+63a+9 같은 식이라면 이야기가 달라집니다. 분자는 3(a+2), 분모는 3(a+3)으로 묶을 수 있으니 공통된 3을 약분해서 a+2a+3으로 정리할 수 있습니다.
겉모습은 앞서 틀렸던 식과 비슷해 보이지만, 이번에는 3이 전체에 곱해진 인수이기 때문에 약분이 성립합니다. 결국 약분이 가능한지 판단하는 기준은 그 숫자나 문자가 덧셈으로 붙어 있느냐, 곱셈으로 묶여 있느냐입니다.
조금 더 나아가면 a²-9a-3 같은 식도 비슷한 함정을 가지고 있습니다. 언뜻 보면 분자의 9와 분모의 3을 연결지어 약분하고 싶어지지만, 여기서도 먼저 해야 할 일은 분자를 인수분해하는 것입니다. a²-9는 a²-3²이므로 합차공식을 이용해 (a+3)(a-3)으로 바꿀 수 있습니다.
그러면 분모의 (a-3)과 공통 인수가 생겨서 약분 후 (a+3)이 남습니다. 이 과정을 건너뛰고 숫자만 보고 약분하면 전혀 다른 답이 나옵니다.
이런 실수를 줄이는 방법은 사실 간단합니다. 약분을 하려는 순간, 분자와 분모가 '곱셈으로만 이루어진 상태'인지 스스로 확인하는 습관을 들이는 것입니다. 덧셈이나 뺄셈 기호가 남아 있다면 아직 약분할 준비가 안 된 식입니다. 먼저 공통 인수로 묶거나 인수분해 공식을 적용해서 곱셈 형태로 정리한 다음에야 비로소 약분을 시도할 수 있습니다. 이 순서만 지켜도 성급한 약분에서 오는 오답은 크게 줄어듭니다.
분수 계산은 중학교 문자식 단원부터 고등 수학의 유리식까지 계속 이어지는 내용이라, 이 습관을 일찍 잡아두는 것이 이후 학습에도 도움이 됩니다. 특히 유리식의 약분과 통분은 고등학교에서 훨씬 복잡한 식으로 다시 등장하므로, 지금 단계에서 원리를 정확히 이해해두는 것이 좋습니다.