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Day 66
호평동 · 남양주
기초
[호평동 수학학원] 정수와 유리수, 수의 세계가 갑자기 넓어질 때
바꿈 수학학원
2026년 9월 9일 · 09.09
핵심 개념
초등학교까지는 0과 자연수, 분수와 소수만 다룹니다. 그런데 중학교에 들어오면 갑자기 음수가 등장합니다. 영하의 기온, 지하 몇 층, 손해 본 금액처럼 0보다 작은 값을 나타내야 하는 상황이 많기 때문입니다. 이렇게 자연수에 0과 음의 정수를 더한 것을 정수라고 부르고, 정수에 분수 형태로 나타낼 수 있는 모든 수를 더한 것을 유리수라고 부릅니다.
이 단원이 어려운 이유는 새로운 계산 규칙 때문입니다. 양수끼리 더하던 것과 달리 이제는 부호를 먼저 판단하고 계산해야 합니다. 특히 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 과정, 즉 빼기를 더하기와 부호 바꾸기로 고쳐 쓰는 과정에서 실수가 많이 나옵니다. 곱셈과 나눗셈에서는 부호 개수를 세어 최종 부호를 정하는 규칙을 익혀야 합니다.
또 하나 중요한 개념이 절댓값입니다. 절댓값은 어떤 수가 0으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 값으로, 방향(부호)은 빼고 거리만 생각합니다. 절댓값 개념은 이후 방정식의 해, 부등식, 함수의 그래프 해석까지 계속 이어지므로 이 시기에 확실히 잡아두는 것이 좋습니다.
호평동 지역 중1 학생들이 처음 이 단원을 배울 때는 수직선을 직접 그려보는 것이 큰 도움이 됩니다. 숫자를 눈으로 확인하면서 크기 비교와 부호 계산을 익히면, 이후 유리수의 사칙연산까지 훨씬 수월하게 넘어갈 수 있습니다.
공식과 패턴
| 구분 | 공식·형태 | 예시 | 주의 |
|---|---|---|---|
| 기본형: 덧셈과 뺄셈 | a - b = a + (-b) | 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 | 뺄셈은 반드시 덧셈으로 바꾼 뒤 부호를 정리합니다. |
| 확장형: 곱셈과 나눗셈의 부호 | 음수의 개수가 짝수면 (+), 홀수면 (-) | (-2) × (-3) × (-1) = -6 (음수 3개, 홀수개이므로 음수) | 부호만 먼저 정하고 숫자는 나중에 계산하면 실수를 줄일 수 있습니다. |
| 응용형: 절댓값과 대소 비교 | |a|는 수직선에서 0까지의 거리, 음수는 절댓값이 클수록 작은 수 | |-7| = 7, |-2| = 2 이므로 -7 < -2 | 음수는 절댓값이 클수록 오히려 수직선에서 왼쪽, 즉 더 작은 수라는 점에 유의합니다. |
난이도별 예제
기초
Q.다음 수를 정수와 정수가 아닌 유리수로 분류하세요: -3, 12, 0, 4, -2.5
정수: -3, 0, 4 / 정수가 아닌 유리수: 12, -2.5. 정수는 소수점이나 분수 없이 나타낼 수 있는 수입니다.
Q.|-9|와 |5|의 값을 각각 구하세요.
|-9| = 9, |5| = 5. 절댓값은 부호를 떼고 남은 크기만 나타냅니다.
중급
Q.(-8) + 5 - (-3)을 계산하세요.
뺄셈을 덧셈으로 바꾸면 (-8) + 5 + 3 입니다. 순서대로 계산하면 -8 + 5 = -3, -3 + 3 = 0. 답은 0입니다.
Q.-3 < x ≤ 2를 만족하는 정수 x를 모두 구하세요.
-3보다 크고 2 이하인 정수를 찾으면 -2, -1, 0, 1, 2 입니다. -3은 포함되지 않고 2는 포함됩니다.
심화
Q.(-2)³ × (-1)⁴ ÷ (-4)를 계산하세요.
(-2)³ = -8, (-1)⁴ = 1 이므로 분자는 -8 × 1 = -8. 이를 -4로 나누면 -8 ÷ (-4) = 2. 답은 2입니다.
Q.|x - 1| = 4를 만족하는 정수 x를 모두 구하세요.
x - 1의 절댓값이 4이므로 x - 1 = 4 또는 x - 1 = -4 입니다. 각각 풀면 x = 5 또는 x = -3. 답은 x = 5, -3 입니다.
시험 핵심 포인트
- 정수는 유리수에 포함되는 개념이라는 포함 관계를 정확히 이해해야 합니다.
- 뺄셈은 반드시 부호를 바꾸어 덧셈으로 고친 뒤 계산하는 습관을 들여야 합니다.
- 곱셈과 나눗셈에서는 부호부터 먼저 정하고 숫자 계산은 나중에 하는 순서가 실수를 줄여줍니다.
- 음수는 절댓값이 클수록 수직선에서 더 왼쪽, 즉 더 작은 수라는 점을 헷갈리지 않아야 합니다.
- 절댓값 방정식은 양쪽 경우(+, -)를 모두 나누어 풀어야 답을 빠뜨리지 않습니다.
- 수직선을 직접 그려보면서 대소 관계와 부호 계산을 눈으로 확인하는 연습이 도움이 됩니다.
자주 묻는 질문
정수와 유리수는 어떻게 다른가요?
정수는 자연수(1, 2, 3...)와 0, 음의 정수(-1, -2, -3...)를 합친 수입니다. 유리수는 여기에 12, 0.3처럼 분수나 소수로 나타낼 수 있는 수를 모두 포함한 더 넓은 범위입니다. 즉 모든 정수는 유리수에 포함되지만, 모든 유리수가 정수는 아닙니다.
절댓값은 왜 배우나요?
절댓값은 어떤 수가 0으로부터 떨어진 거리를 나타내기 때문입니다. 부호와 상관없이 크기만 비교하거나, 방정식과 부등식에서 거리 조건을 다룰 때 꼭 필요한 개념입니다. 이후 학년의 함수와 도형 단원에서도 계속 활용됩니다.
음수끼리 곱하면 왜 양수가 되나요?
곱셈에서 음수 부호가 하나씩 곱해질 때마다 부호가 한 번씩 뒤집힌다고 생각하면 이해하기 쉽습니다. 음수 하나를 곱하면 부호가 한 번 바뀌고, 음수 두 개를 곱하면 두 번 바뀌어 원래 부호로 돌아오므로 양수가 됩니다. 이 규칙은 곱하는 음수의 개수가 짝수인지 홀수인지로 정리할 수 있습니다.
뺄셈이 왜 자꾸 헷갈리나요?
정수의 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꾸어 더하는 것으로 바꿔 계산하기 때문입니다. 예를 들어 3 - (-2)는 3 + 2로 고쳐 계산해야 하는데, 이 변환 과정을 생략하고 바로 계산하다가 부호를 놓치는 경우가 흔합니다. 익숙해질 때까지는 뺄셈을 덧셈으로 고쳐 쓰는 중간 단계를 생략하지 않는 것이 좋습니다.
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