[호평동 영수학원] 피타고라스, 정리 하나로 이름을 남긴 사람과 그 학파의 비밀
핵심 개념
피타고라스라는 이름을 들으면 대부분 학생들이 곧바로 a² + b² = c² 를 떠올립니다. 그런데 이 정리를 피타고라스가 처음 발견한 것은 아니라는 이야기가 전해집니다. 직각삼각형의 세 변 사이에 이런 관계가 있다는 사실은 이미 고대 바빌로니아나 이집트에서도 어렴풋이 알려져 있었다고 합니다.
다만 그 관계가 어떤 삼각형에서도 항상 성립한다는 것을 논리적으로 증명하고, 그것을 하나의 체계로 정리해 후대에 남긴 것이 피타고라스와 그의 학파였다고 전해집니다. 그래서 이 정리에 그의 이름이 붙게 되었다는 것이지요.
피타고라스는 기원전 6세기 무렵 그리스에서 활동한 인물로 알려져 있습니다. 그는 단순히 수학 문제를 푸는 사람이 아니라, '피타고라스 학파'라는 일종의 공동체를 만들어 이끌었다고 전해집니다. 이 학파는 수학을 공부하는 모임이면서 동시에 철학과 신념을 공유하는 집단이기도 했습니다.
이들은 세상의 모든 것이 수로 설명될 수 있다고 믿었다고 합니다. 별의 움직임, 음악의 화음, 도형의 성질까지 모두 수의 비율로 이해할 수 있다고 여긴 것입니다. 지금 우리가 배우는 수학과는 사뭇 다른, 거의 종교에 가까운 태도였다고 볼 수 있습니다.
이 학파의 믿음을 직접 확인해 볼 수 있는 예가 바로 직각삼각형입니다. 예를 들어 두 변의 길이가 3과 4인 직각삼각형을 생각해 봅시다. 3² 은 9, 4² 은 16이니 두 값을 더하면 25가 됩니다. 그리고 25는 5² 과 같습니다. 즉 빗변의 길이는 5가 되고, 3, 4, 5라는 정수만으로 딱 맞아떨어지는 삼각형이 만들어집니다.
이런 정수 조합을 찾아내는 것 자체가 피타고라스 학파에게는 세상이 수로 이루어져 있다는 믿음을 뒷받침하는 증거처럼 보였을 것입니다.
그런데 여기서 흥미로운 반전이 벌어집니다. 직각을 낀 두 변의 길이가 모두 1인 직각삼각형을 생각해 보면, 빗변의 길이는 1² + 1² = 2 이므로 제곱해서 2가 되는 수, 즉 √2 가 됩니다. 문제는 이 √2 가 어떤 정수의 비율로도 나타낼 수 없는 수라는 점입니다.
정수와 정수의 비율로 표현되지 않는 수, 오늘날 우리가 무리수라고 부르는 존재가 바로 이 삼각형 안에서 튀어나온 것입니다. 세상 모든 것이 정수의 비율로 설명된다고 믿었던 학파 입장에서는, 자신들이 그토록 신봉하던 정리에서 그 믿음을 뒤흔드는 수가 발견된 셈이니 상당히 곤란했을 것입니다.
이 무리수의 존재를 두고 학파 안에서 큰 소동이 있었다는 이야기가 전해집니다. 이 사실을 외부에 알린 제자가 있었는데, 그로 인해 처벌을 받았다거나 심하게는 목숨을 잃었다는 전설도 있습니다. 다만 이런 이야기는 오랜 세월 구전으로 전해지며 살이 붙었을 가능성이 크기 때문에, 사실 그대로 받아들이기보다는 그만큼 이 발견이 당시 사람들에게 충격적이었다는 정도로 이해하는 편이 자연스럽습니다.
결과적으로 피타고라스 정리는 하나의 공식으로만 남은 것이 아니라, 수학이 자기 자신의 믿음을 스스로 뒤엎을 수도 있다는 사실을 보여 준 사건이기도 합니다. 정수의 세계만으로 충분하다고 믿었던 사람들이, 자신들이 세운 정리 안에서 정수로 표현되지 않는 수를 만나게 된 것이니까요.
지금 중학교 수학에서 배우는 a² + b² = c² 이라는 짧은 식 안에는 이런 오래된 이야기가 함께 담겨 있는 셈입니다.
호평동에서 중학교 도형 단원을 공부하는 학생이라면, 이 정리를 단순히 외워서 답을 구하는 공식으로만 대할 필요는 없습니다. 왜 이 식이 성립하는지, 그리고 이 식이 수학사에서 어떤 의미를 가졌는지를 함께 알아 두면 정리를 훨씬 오래 기억할 수 있습니다. 숫자 3, 4, 5처럼 딱 떨어지는 경우도 있고, √2 처럼 끝없이 이어지는 경우도 있다는 것을 아는 것만으로도 도형과 수의 세계를 보는 눈이 조금 넓어질 것입니다.