[호평동 영수학원] 보름달과 반달, 달의 위상에 숨은 각도와 비율 이야기
핵심 개념
저녁에 하늘을 올려다보면 어떤 날은 동그란 보름달이 떠 있고, 어떤 날은 반쪽만 남은 반달이 떠 있습니다. 또 어떤 날은 손톱처럼 가느다란 초승달이 보이기도 합니다. 아이들은 흔히 달이 매일 모양을 바꾼다고 생각하지만, 사실 달은 늘 똑같은 동그란 공 모양입니다. 우리 눈에 보이는 모양만 달라지는 것인데, 그 이유를 들여다보면 도형과 비율 이야기가 숨어 있습니다.
달은 스스로 빛을 내지 못하고 태양 빛을 반사해서 빛납니다. 태양, 지구, 달의 위치 관계에 따라 달의 어느 부분에 햇빛이 비치는지가 달라지고, 그중 지구에서 보이는 쪽만큼만 밝게 보입니다. 즉 우리가 보는 달의 모양은 태양 빛을 받는 둥근 공을 어느 각도에서 바라보느냐의 문제입니다. 이걸 수학적으로 단순화하면, 원 하나를 두고 그 절반, 혹은 일부만 색칠해서 보는 상황과 비슷합니다.
보름달은 태양 빛을 받는 면 전체가 지구 쪽을 향해 있을 때입니다. 원 전체가 다 보이는 셈이니, 밝은 부분의 비율은 원 전체의 100퍼센트, 즉 1이라고 할 수 있습니다. 반달은 그 반대로, 밝은 부분과 어두운 부분이 정확히 절반씩 나뉘어 보이는 때입니다. 원을 반으로 나누면 넓이도 정확히 12씩 나뉘는 것과 같은 이치입니다.
실제로 초등 도형 단원에서 원을 반으로 나누는 활동을 배우는데, 그때 배우는 반원의 넓이 개념이 반달의 모습과 그대로 이어집니다. 원의 넓이를 S라고 하면 반달에 해당하는 부분의 넓이는 S2로 쓸 수 있습니다.
그런데 재미있는 것은 반달이 정확히 반원 모양으로 보이지는 않는다는 점입니다. 반달의 경계선은 실제로는 곡선인데, 이 곡선은 달을 옆에서 비스듬히 볼 때 생기는 타원의 일부처럼 보입니다. 이걸 이해하려면 각도 이야기가 필요합니다. 태양과 지구, 달이 이루는 각도가 90도에 가까울 때 우리는 반달을 보게 됩니다.
태양, 지구, 달을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그려 보면, 지구에서 본 태양과 달 사이의 각도가 커질수록 달의 밝은 부분이 넓어지고, 각도가 작아질수록 좁아지는 관계가 나타납니다. 이 각도가 0도에 가까우면 달과 태양이 거의 같은 방향에 있어서 밝은 면이 지구 반대편으로 가 버리는 그믐달에 가까워지고, 각도가 180도에 가까우면 태양과 달이 지구를 사이에 두고 정반대에 있어서 밝은 면 전체가 지구를 향하는 보름달이 됩니다.
초승달이나 그믐달처럼 아주 가느다란 달의 모양을 눈썹달이라고 부르기도 하는데, 이때 밝은 부분의 넓이 비율은 아주 작아서 원 전체의 몇십분의 1도 안 될 때가 많습니다. 이렇게 매일 조금씩 각도가 변하면서 밝은 부분의 비율도 0에서 1 사이를 오르내리고, 이 변화가 한 바퀴를 도는 데 걸리는 시간이 대략 한 달, 정확히는 약 29.5일 정도라고 알려져 있습니다. 그래서 옛사람들이 이 주기를 보고 달력의 한 달이라는 단위를 만들었다는 이야기도 전해집니다.
결국 밤하늘의 달 모양은 매일 다르게 그려지는 그림이 아니라, 하나의 둥근 도형을 어떤 각도에서 보고 얼마만큼의 비율로 빛이 비치는지를 보여 주는 자연스러운 수학 그림입니다. 아이와 함께 밤하늘을 보며 오늘 뜬 달이 원 전체의 몇 분의 몇 정도로 밝게 보이는지 어림해 보는 것도, 도형과 비율 감각을 키우는 좋은 대화거리가 될 수 있습니다.