[호평동 수학학원] 부등식에서 음수를 곱하면 왜 방향이 바뀌나요
핵심 개념
부등식은 두 수의 크기를 비교하는 식입니다. 예를 들어 3 < 5는 참인 부등식입니다. 그런데 이 식의 양변에 -1을 곱하면 어떻게 될까요. 그대로 두면 -3 < -5가 되는데, 이것은 거짓입니다. -3은 -5보다 큰 수이기 때문입니다. 그래서 양변에 음수를 곱할 때는 부등호 방향을 반대로 바꿔서 -3 > -5로 써야 참인 식이 됩니다.
이 원리를 눈으로 확인하는 가장 좋은 방법은 수직선입니다. 수직선에서 오른쪽으로 갈수록 큰 수, 왼쪽으로 갈수록 작은 수입니다. 3과 5는 5가 더 오른쪽에 있으므로 3 < 5입니다. 그런데 각 수에 -1을 곱하면 원점을 기준으로 반대편으로 위치가 뒤집힙니다. 3은 -3으로, 5는 -5로 이동하는데, 이때 -5가 -3보다 왼쪽에 놓이게 됩니다.
즉 크기 순서 자체가 뒤바뀌는 것입니다. 음수를 곱하는 것은 수직선을 원점 기준으로 좌우로 뒤집는 것과 같아서, 순서도 함께 뒤집힙니다.
반대로 양변에 양수를 곱하거나 나누는 경우는 수직선의 간격만 늘어나거나 줄어들 뿐, 좌우 위치 관계는 그대로 유지됩니다. 3 < 5의 양변에 2를 곱하면 6 < 10이 되어 부등호 방향이 그대로 유지되는 것도 같은 이유입니다. 결국 부등호 방향이 바뀌는지 아닌지는 곱하는 수가 양수인지 음수인지에 달려 있습니다.
이 규칙은 중1의 일차부등식 단원에서 처음 배우고, 이후 연립부등식이나 이차부등식으로 갈수록 더 자주 쓰입니다. 부등식을 풀 때 이항과 정리 과정에서 음수를 곱하거나 나누는 순간이 자연스럽게 생기기 때문에, 이 규칙을 정확히 알고 있어야 답을 틀리지 않습니다.
공식과 패턴
| 구분 | 공식·형태 | 예시 | 주의 |
|---|---|---|---|
| 기본형 | a < b 이고 c가 음수이면, ac > bc | 3 < 5 인데 양변에 -1을 곱하면 -3 > -5 | 부등호 방향을 반드시 반대로 바꿔야 합니다. |
| 확장형 | 음수로 나누는 것도 음수를 곱하는 것과 같은 효과 | -2x < 6 의 양변을 -2로 나누면 x > -3 | 나누기도 곱하기와 똑같이 방향이 바뀝니다. |
| 응용형 | 여러 항을 이항할 때도 부호가 바뀌면 주의 | 5 - 2x > 1 에서 -2x > -4, 양변을 -2로 나누면 x < 2 | 이항 자체로는 방향이 안 바뀌지만, 마지막에 음수로 나눌 때 바뀝니다. |
난이도별 예제
시험 핵심 포인트
- 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때만 부등호 방향이 바뀝니다.
- 덧셈, 뺄셈, 양수를 곱하거나 나누는 경우는 방향이 그대로 유지됩니다.
- 이항을 여러 번 한 뒤 마지막에 음수로 나누는 단계에서 방향 바꾸는 것을 잊기 쉽습니다.
- 괄호를 전개하는 과정에서 부호 실수가 나면 답 전체가 틀어지므로 전개를 꼼꼼히 확인해야 합니다.
- 계산 후에는 간단한 수를 대입해서 부등식이 실제로 성립하는지 검산해 보는 습관이 도움이 됩니다.
- 연립부등식이나 이차부등식으로 넘어가도 이 방향 규칙은 그대로 적용됩니다.