[호평동 영수학원] 왜 1은 소수가 아닐까

1은 소수일까요, 아닐까요. 처음 이 질문을 받으면 많은 학생이 헷갈려합니다. 1은 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지니 소수의 조건에 맞는 것처럼 보이기 때문입니다. 소수는 흔히 '1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수'라고 배웁니다. 그런데 1의 약수는 1 하나뿐입니다.

1과 자기 자신이 겹쳐서 약수가 딱 하나뿐인 셈이니, 이 정의만 놓고 보면 1도 소수처럼 보일 수 있습니다. 그래서 이 정의는 정확히 말하면 '1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수'라고 고쳐 써야 합니다. 소수의 정의에 처음부터 1보다 크다는 조건이 붙어 있는 것입니다.

그렇다면 왜 이런 조건을 굳이 붙였을까요. 그 답은 소인수분해에 있습니다. 어떤 자연수든 소수들의 곱으로 나타낼 수 있는데, 이때 그 방법이 순서를 바꾸는 것 말고는 딱 하나뿐이어야 한다는 약속이 수학에는 있습니다. 예를 들어 12는 2 × 2 × 3으로 소인수분해됩니다.

2 × 6 × 1도 아니고, 3 × 4도 아니고, 오직 2, 2, 3의 조합 하나뿐입니다. 이 유일함이 소인수분해라는 개념을 쓸모 있게 만들어 줍니다.

만약 1을 소수로 인정하면 이 유일함이 무너집니다. 12는 2 × 2 × 3으로도 쓸 수 있고, 1 × 2 × 2 × 3으로도 쓸 수 있고, 1 × 1 × 2 × 2 × 3으로도 쓸 수 있습니다. 1을 아무리 곱해도 값은 바뀌지 않으니, 1을 몇 개나 끼워 넣을지에 따라 소인수분해 방법이 무한히 늘어나 버립니다.

하나였던 답이 순식간에 끝없이 많아지는 것입니다. 이렇게 되면 '소인수분해는 한 가지 방법뿐이다'라는 중요한 성질 자체가 의미를 잃습니다.

이 성질에는 산술의 기본 정리라는 이름이 붙어 있습니다. 2보다 큰 모든 자연수는 소수들의 곱으로 나타낼 수 있고, 그 표현은 곱하는 순서를 빼면 오직 한 가지뿐이라는 내용입니다. 수학자들이 1을 소수의 목록에서 뺀 것은 이 정리를 깔끔하게 지키기 위해서라고 볼 수 있습니다. 정의를 살짝 바꾸는 것만으로 훨씬 중요한 성질 하나를 지킬 수 있다면, 그 편이 훨씬 이득인 셈입니다.

그러면 1은 합성수일까요. 그것도 아닙니다. 합성수는 소수가 아니면서 1보다 큰 자연수, 그러니까 소수 두 개 이상의 곱으로 나눌 수 있는 수를 말합니다. 4는 2 × 2, 6은 2 × 3처럼 말입니다. 그런데 1은 아무리 나누어 보아도 소수들의 곱으로 표현할 방법이 없습니다.

1은 그 자체로 이미 더 나눌 수 없는, 곱셈의 시작점 같은 존재이기 때문입니다. 그래서 1은 소수도 합성수도 아닌, 자기만의 자리에 홀로 서 있는 특별한 수로 분류됩니다.

정리하면 1이 소수에서 빠진 이유는 어떤 규칙을 억지로 만든 것이 아니라, 소인수분해라는 개념이 제대로 작동하도록 지켜 준 결과입니다. 수학의 정의는 이렇게 종종 뒤에 숨은 더 큰 원리를 보호하기 위해 정해지곤 합니다. 소수의 정의를 외울 때 '1보다 큰'이라는 조건을 그냥 붙여진 말로 넘기지 말고, 왜 그 말이 꼭 필요한지 한 번쯤 생각해 보면 소인수분해라는 단원이 훨씬 또렷하게 이해될 것입니다.