[호평동 바꿈영수학원] 아르키메데스, 목욕탕에서 유레카를 외친 이유

아르키메데스는 고대 그리스 시라쿠사에서 활동한 학자로, 기하학과 물리학에서 여러 업적을 남긴 인물로 알려져 있습니다. 그와 관련해 가장 유명한 이야기는 왕관과 목욕탕에 관한 일화인데, 사실 그대로인지는 후대 기록에 의존하는 부분이 많아 전해지는 이야기로 받아들이는 것이 좋습니다.

전해지는 이야기는 이렇습니다. 왕이 금 세공사에게 순금을 주고 왕관을 만들게 했는데, 세공사가 금 일부를 은으로 바꿔치기했다는 의심이 생겼습니다. 왕관을 부수지 않고 진짜 순금인지 확인하는 방법을 아르키메데스가 맡게 되었다고 합니다. 문제는 왕관의 모양이 울퉁불퉁해서 부피를 직접 계산하기 어렵다는 점이었습니다.

그가 목욕탕에 몸을 담그다가 물이 넘치는 것을 보고 방법을 떠올렸다는 것이 이 이야기의 핵심 장면입니다. 몸이 물에 잠긴 부피만큼 물이 밀려난다는 사실에서, 왕관을 물에 담그면 왕관의 부피만큼 물이 밀려난다는 것을 깨달았다는 이야기입니다.

이 원리를 수로 확인해 보겠습니다. 밀도는 (질량) ÷ (부피)로 정의됩니다. 금의 밀도는 대략 19.3g/cm³이고 은의 밀도는 대략 10.5g/cm³로 알려져 있습니다. 같은 질량이라도 밀도가 낮은 은은 부피가 더 커야 합니다. 예를 들어 금 1000g은 부피가 1000 ÷ 19.3 ≈ 51.8cm³이지만, 은 1000g은 부피가 1000 ÷ 10.5 ≈ 95.2cm³가 됩니다. 순금 왕관과 똑같은 무게의 왕관을 만들어도, 은이 섞여 있으면 부피가 더 커진다는 뜻입니다.

그래서 확인 방법은 이렇게 정리됩니다. 왕관과 똑같은 무게의 순금 덩어리를 준비해서 각각 물에 담가 넘치는 물의 양, 즉 부피를 비교하는 것입니다. 만약 왕관이 순금이라면 두 부피가 똑같아야 합니다. 하지만 왕관에 은이 섞여 있다면 같은 무게라도 부피가 더 크므로, 왕관을 담갔을 때 물이 더 많이 넘치게 됩니다. 이 차이를 통해 겉모습만으로는 알 수 없는 사실을 확인할 수 있었다는 것이 이야기의 결론입니다.

이 이야기에서 배울 수 있는 수학 개념은 부피와 밀도, 그리고 비례 관계입니다. 무게가 같을 때 부피와 밀도는 반비례 관계에 있습니다. 밀도가 작을수록 같은 무게를 채우는 데 더 많은 공간이 필요하다는 뜻입니다. 이런 반비례 관계는 중학교 수학에서 비례식과 반비례를 배울 때 다시 만나는 개념이기도 합니다.

직접 재기 어려운 대상을, 잴 수 있는 다른 양으로 바꾸어 비교하는 방식은 수학과 과학에서 자주 쓰이는 사고방식입니다.

아르키메데스가 목욕탕에서 뛰쳐나와 벌거벗은 채로 거리를 달리며 유레카, 즉 '알아냈다'를 외쳤다는 장면은 후대에 전해지며 덧붙여진 이야기일 가능성이 있습니다. 하지만 이 일화가 오랫동안 사랑받는 이유는, 평범한 일상의 관찰에서 어려운 문제를 풀 실마리를 찾아냈다는 점 때문일 것입니다.

목욕물이 넘치는 모습은 누구나 볼 수 있는 장면이지만, 그것을 부피와 밀도의 문제로 연결해 낸 것은 아르키메데스의 눈이었습니다.