[호평동 영수학원] 유클리드, 2300년 동안 교과서였던 책 원론
핵심 개념
수학책 중에 2000년 넘게 팔린 책이 있다면 믿으시겠습니까. 유클리드가 쓴 원론이 그렇습니다. 기원전 300년 무렵 고대 그리스 알렉산드리아에서 활동한 유클리드가 정리한 이 책은, 이후 유럽과 중동의 학교에서 기하학을 가르치는 표준 교재로 쓰였다고 전해집니다. 성경 다음으로 많이 인쇄된 책이라는 이야기도 있는데, 정확한 통계로 확인하기는 어렵지만 그만큼 오래, 널리 읽혔다는 뜻으로 받아들이면 될 것 같습니다.
원론이 특별한 이유는 담긴 내용보다 담아낸 방식에 있습니다. 유클리드는 책의 맨 앞에 몇 가지 약속을 먼저 정합니다. 점은 위치만 있고 크기가 없다, 두 점을 지나는 직선은 하나뿐이다, 같은 것들입니다. 이런 약속을 공리 또는 공준이라고 부릅니다. 그리고 이후에 나오는 모든 정리는 이 약속들만 가지고 논리적으로 증명해 나갑니다.
새로운 사실을 하나 증명하면, 그다음 사실은 앞에서 증명한 것을 다시 근거로 삼습니다. 이렇게 벽돌을 쌓듯이 지식을 쌓아 올리는 방식을 오늘날에도 공리적 방법이라고 부르는데, 이 틀을 처음으로 완성도 있게 보여준 책이 원론입니다.
예를 들어 원론에는 이등변삼각형의 두 밑각이 같다는 정리가 나옵니다. 지금 중학교 도형 단원에서 배우는 바로 그 내용입니다. 삼각형 ABC에서 AB와 AC의 길이가 같다고 합시다. 유클리드는 이 사실 하나만으로, 그리고 앞서 증명해 둔 삼각형의 합동 조건만 가지고 각 B와 각 C가 같다는 것을 논리적으로 끌어냅니다.
그림을 보고 두 각이 비슷해 보이니 같다고 하는 게 아니라, 반드시 참일 수밖에 없는 이유를 하나하나 짚어서 보여주는 방식입니다. 지금 우리가 수학 시간에 증명이라고 부르는 활동의 원형이 여기에 있습니다.
피타고라스 정리도 원론에 실려 있습니다. 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a, b라 하고 빗변을 c라 하면 a² + b² = c²이 성립한다는 정리입니다. 이 사실 자체는 유클리드보다 훨씬 이전부터 여러 문명에서 알려져 있었다고 전해지지만, 유클리드는 이것을 그림으로 넓이를 비교하는 방식으로 엄밀하게 증명해서 원론 제1권에 담았습니다.
결과만 알고 쓰는 것과, 왜 항상 성립하는지 증명까지 아는 것은 다른 문제입니다. 원론은 후자를 지향한 책입니다.
2000년 넘게 이 책이 살아남은 이유를 한 가지로 말하기는 어렵습니다. 다만 확실한 것은, 원론의 논리 전개 방식이 그 자체로 정답이었다는 점입니다. 새로운 도형이 나오고 새로운 정리가 발견되어도, 공리에서 출발해서 차근차근 증명해 나가는 틀은 바뀌지 않았습니다. 그래서 원론은 특정 시대의 지식을 담은 책이라기보다, 수학을 하는 방법 자체를 담은 책에 가깝습니다.
지금 중학교와 고등학교에서 도형 문제를 풀 때 근거를 하나씩 대며 증명을 쓰는 연습을 하는데, 이 방식이 낯설고 답답하게 느껴질 때가 있습니다. 그림만 봐도 알 것 같은 사실을 왜 굳이 단계별로 써야 하는지 의문이 들 수 있습니다. 하지만 그 답답함이야말로 유클리드가 2300년 전에 세운 기준입니다.
눈으로 보기에 그럴듯한 것과, 논리로 반드시 참인 것은 다르다는 기준입니다. 도형 증명 문제를 풀 때마다 우리는 알게 모르게 원론이 세워 놓은 틀 안에서 수학을 하고 있는 셈입니다.