연립방정식, 두 식을 왜 더하고 빼나요

연립방정식은 미지수가 두 개인 방정식 두 개를 동시에 만족하는 해를 찾는 문제입니다. 미지수가 x, y 이렇게 두 개인데 식도 두 개가 있으니, 이 두 식을 잘 조합하면 미지수를 하나씩 줄여나갈 수 있습니다. 이 과정에서 가장 많이 쓰는 방법이 두 식을 더하거나 빼는 가감법입니다.

두 식을 더하거나 빼는 이유는 간단합니다. 등식은 양쪽이 똑같은 값이기 때문에, 양쪽에 같은 것을 더하거나 빼도 등식은 그대로 성립합니다. 예를 들어 A = B 이고 C = D 라면 A + C = B + D 도 참입니다. 이 성질을 이용해서 한 미지수의 계수를 서로 같게 맞춘 뒤 더하거나 빼면, 그 미지수가 사라지고 하나의 미지수만 남은 식이 만들어집니다. 이것을 소거라고 부릅니다.

왜 이렇게 미지수를 줄이려고 할까요. 미지수가 두 개인 방정식은 그 자체로는 답이 무수히 많습니다. 예를 들어 x + y = 5 만으로는 x = 1, y = 4도 되고 x = 2, y = 3도 됩니다. 하지만 조건이 하나 더 붙어서 두 식을 동시에 만족해야 한다면, 답은 보통 한 쌍으로 정해집니다. 미지수를 하나 줄여서 x나 y만 있는 식으로 만들면, 우리가 이미 알고 있는 일차방정식 풀이로 바로 해결할 수 있기 때문에 가감법을 쓰는 것입니다.

실생활에서도 연립방정식은 자주 등장합니다. 두 가지 물건의 가격이나 두 사람의 나이처럼, 조건이 두 가지로 얽혀 있는 상황을 수로 표현하면 대부분 연립방정식 형태가 됩니다. 이런 문제를 풀 때도 결국은 가감법이나 대입법으로 미지수를 하나씩 줄여가는 원리가 똑같이 적용됩니다.