[호평동 수학학원] 연립방정식, 두 식을 왜 더하고 빼나요
핵심 개념
연립방정식은 미지수가 두 개인 방정식 두 개를 동시에 만족하는 해를 찾는 문제입니다. 미지수가 x, y 이렇게 두 개인데 식도 두 개가 있으니, 이 두 식을 잘 조합하면 미지수를 하나씩 줄여나갈 수 있습니다. 이 과정에서 가장 많이 쓰는 방법이 두 식을 더하거나 빼는 가감법입니다.
두 식을 더하거나 빼는 이유는 간단합니다. 등식은 양쪽이 똑같은 값이기 때문에, 양쪽에 같은 것을 더하거나 빼도 등식은 그대로 성립합니다. 예를 들어 A = B 이고 C = D 라면 A + C = B + D 도 참입니다. 이 성질을 이용해서 한 미지수의 계수를 서로 같게 맞춘 뒤 더하거나 빼면, 그 미지수가 사라지고 하나의 미지수만 남은 식이 만들어집니다. 이것을 소거라고 부릅니다.
왜 이렇게 미지수를 줄이려고 할까요. 미지수가 두 개인 방정식은 그 자체로는 답이 무수히 많습니다. 예를 들어 x + y = 5 만으로는 x = 1, y = 4도 되고 x = 2, y = 3도 됩니다. 하지만 조건이 하나 더 붙어서 두 식을 동시에 만족해야 한다면, 답은 보통 한 쌍으로 정해집니다.
미지수를 하나 줄여서 x나 y만 있는 식으로 만들면, 우리가 이미 알고 있는 일차방정식 풀이로 바로 해결할 수 있기 때문에 가감법을 쓰는 것입니다.
실생활에서도 연립방정식은 자주 등장합니다. 두 가지 물건의 가격이나 두 사람의 나이처럼, 조건이 두 가지로 얽혀 있는 상황을 수로 표현하면 대부분 연립방정식 형태가 됩니다. 이런 문제를 풀 때도 결국은 가감법이나 대입법으로 미지수를 하나씩 줄여가는 원리가 똑같이 적용됩니다.
공식과 패턴
| 구분 | 공식·형태 | 예시 | 주의 |
|---|---|---|---|
| 기본형(계수가 같을 때) | 두 식에서 한 미지수의 계수가 같으면 두 식을 빼서 그 미지수를 없앤다 | 2x + 3y = 12, 2x - y = 4를 빼면 4y = 8, y = 2 | 계수의 부호가 같으면 빼고, 부호가 다르면 더해야 소거됩니다. |
| 확장형(계수를 맞춰야 할 때) | 계수가 다르면 두 식에 적절한 수를 곱해 한 미지수의 계수를 같게 만든 뒤 더하거나 뺀다 | 3x + 2y = 16, x + y = 7 에서 두 번째 식에 2를 곱해 2x + 2y = 14로 만들고 첫 식에서 빼면 x = 2 | 양변에 곱할 때는 식 전체에 똑같이 곱해야 등식이 유지됩니다. |
| 응용형(대입법과 함께 쓰기) | 가감법으로 한 미지수의 값을 먼저 구하고, 그 값을 원래 식에 대입해 나머지 미지수를 구한다 | y = 2를 2x - y = 4에 대입하면 2x - 2 = 4, x = 3 | 구한 값은 반드시 두 원래 식 모두에 넣어 확인하는 습관이 필요합니다. |
난이도별 예제
시험 핵심 포인트
- 가감법은 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 등식이 유지된다는 성질을 이용합니다.
- 한 미지수의 계수의 절댓값을 같게 맞춘 뒤, 부호가 같으면 빼고 부호가 다르면 더해야 소거됩니다.
- 계수를 맞추려고 식 전체에 수를 곱할 때는 좌변과 우변 모두에 곱해야 합니다.
- 분모가 있는 연립방정식은 먼저 양변에 분모의 최소공배수를 곱해 정리한 뒤 가감법을 적용하면 실수를 줄일 수 있습니다.
- 구한 x, y 값은 반드시 두 원래 식에 모두 대입해 참이 되는지 확인해야 합니다.
- 미지수가 두 개인 식 하나만으로는 해가 무수히 많고, 두 식을 동시에 만족해야 해가 보통 한 쌍으로 정해집니다.