Day 25 호평동 · 남양주 중급

[호평동 바꿈영수학원] 이차함수 그래프, 꼭짓점부터 잡으면 쉬워집니다

바꿈 수학학원

2026년 7월 30일 · 07.30

핵심 개념

이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프는 결국 y = a(x-p)² + q 꼴로 바꿔서 보는 게 핵심입니다. 이 식에서 (p, q)가 바로 꼭짓점 좌표이고, 그래프는 이 점을 중심으로 좌우 대칭인 포물선을 그립니다.

중3, 고1 학생들이 이차함수 단원에서 막히는 지점은 대개 비슷합니다. 표를 그려서 점을 하나하나 찍는 방식으로만 배우다 보니, 식만 보면 그래프가 대략 어떻게 생겼는지 감을 못 잡는 거죠. 그런데 꼭짓점과 y = ax²의 폭(a값)만 알면, 그래프의 위치와 모양을 거의 즉시 파악할 수 있습니다.

특히 최댓값·최솟값을 구하는 문제, 그래프의 평행이동 문제, 이차함수와 직선의 교점 문제까지 전부 꼭짓점 개념 위에서 풀립니다. 그래서 이 단원을 처음 배울 때 완전제곱식으로 변형하는 연습을 충분히 해두는 게 나중 단원까지 든든하게 이어집니다.

공식과 패턴

구분	공식·형태	예시	주의
기본형	y = a(x-p)² + q → 꼭짓점 (p, q), 축의 방정식 x = p	y = 2(x-3)² + 1 → 꼭짓점 (3, 1)	괄호 안 부호와 실제 좌표 부호가 반대임을 꼭 확인하세요. (x-3)이면 p는 +3입니다.
변형형	y = ax² + bx + c를 완전제곱식으로 고치기: a로 묶고 b2a를 이용해 제곱식 만들기	y = x² - 4x + 1 = (x-2)² - 4 + 1 = (x-2)² - 3 → 꼭짓점 (2, -3)	a로 묶을 때 상수항 c는 묶지 않고 남겨둔 채 계산해야 실수가 줄어듭니다.
응용형	a > 0이면 아래로 볼록(꼭짓점에서 최솟값), a < 0이면 위로 볼록(꼭짓점에서 최댓값)	y = -(x+1)² + 5 → 최댓값 5 (x = -1일 때)	정의역이 제한된 문제에서는 꼭짓점이 그 범위 안에 있는지 반드시 확인해야 합니다.

난이도별 예제

기초

Q.y = (x-2)² + 3의 꼭짓점 좌표를 구하세요.

괄호 안 부호를 반대로 읽으면 됩니다. 꼭짓점은 (2, 3)입니다.

Q.y = 3x²의 그래프를 x축 방향으로 1, y축 방향으로 -2만큼 평행이동한 식을 쓰세요.

y = 3(x-1)² - 2

중급

Q.y = x² + 6x + 4를 완전제곱식으로 바꾸고 꼭짓점을 구하세요.

y = (x+3)² - 9 + 4 = (x+3)² - 5 → 꼭짓점 (-3, -5)

Q.y = -2x² + 8x - 3의 최댓값을 구하세요.

y = -2(x²-4x) - 3 = -2(x-2)² + 8 - 3 = -2(x-2)² + 5 → 최댓값 5 (x=2일 때)

심화

Q.y = x² - 2x + k의 그래프가 x축에 접할 때 k의 값을 구하세요.

완전제곱식으로 바꾸면 y = (x-1)² + k - 1. x축에 접하려면 최솟값이 0이어야 하므로 k - 1 = 0, k = 1

Q.1 ≤ x ≤ 4에서 y = (x-2)² - 1의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

꼭짓점 (2, -1)이 범위 안에 있으므로 최솟값은 -1. 양 끝값 비교: x=1일 때 y=0, x=4일 때 y=3. 최댓값은 3

시험 핵심 포인트

y = a(x-p)² + q에서 꼭짓점은 (p, q), 괄호 안 부호는 반대로 읽는다
완전제곱식으로 바꿀 때 a로 묶고 나서 상수항은 나중에 처리한다
a의 부호로 볼록 방향과 최댓값·최솟값 여부를 먼저 판단한다
정의역이 주어지면 꼭짓점이 그 범위 안에 있는지부터 확인한다
평행이동은 x축 방향 p, y축 방향 q만큼 식에 그대로 반영된다
x축에 접한다는 조건은 최댓값 또는 최솟값이 0이라는 뜻이다

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