[호평동 바꿈영수학원] 파스칼, 삼각형에 이름을 남긴 천재의 도박 문제
핵심 개념
17세기 프랑스에 블레즈 파스칼이라는 사람이 있었습니다. 어릴 때부터 수학에 재능을 보였다는 이야기가 전해지는데, 아버지가 수학을 늦게 가르치려 했지만 스스로 도형의 성질을 알아냈다는 일화도 널리 알려져 있습니다. 하지만 파스칼이 수학사에 이름을 남긴 가장 유명한 사건은 도박을 좋아하던 귀족 친구의 질문에서 시작됩니다.
그 귀족의 이름은 드 메레였다고 알려져 있습니다. 그는 파스칼에게 이런 문제를 들고 왔습니다. 두 사람이 같은 금액을 걸고 게임을 하는데, 먼저 정해진 점수에 도달하는 사람이 상금을 모두 가져가기로 했습니다. 그런데 게임이 끝나기 전에 중단해야 하는 상황이 생겼습니다.
이때 상금을 어떻게 나누는 것이 공정할까, 하는 문제였습니다. 단순히 지금까지 이긴 횟수 비율로 나누면 될 것 같지만, 그렇게 하면 앞으로 이길 가능성이 높은 쪽이 손해를 보게 됩니다.
예를 들어 5점을 먼저 내는 사람이 이기는 게임에서, A가 4점, B가 3점을 낸 상태로 중단되었다고 해봅시다. 단순히 4대3 비율로 나누면 A가 47, B가 37을 가져갑니다. 하지만 이 상황에서 한 판만 더 했을 때 A가 이기면 바로 게임이 끝나고, B가 이기면 4대4가 되어 다시 한 판으로 승부가 갈립니다.
즉 A는 한 판만 이기면 되는데 B는 두 판을 내리 이겨야 합니다. A가 훨씬 유리한 상황인데 4대3 비율로만 나누는 것은 공정하지 않습니다.
파스칼은 이 문제를 당시 또 다른 수학자였던 페르마와 편지를 주고받으며 풀어나갔습니다. 두 사람은 앞으로 게임이 어떻게 전개될 수 있는지 모든 경우를 하나하나 따져보는 방법을 택했습니다. 앞의 예에서 남은 두 판을 가정해보면, 첫 판에서 A가 이기면 그걸로 끝입니다. 첫 판에서 B가 이기고 둘째 판에서 A가 이기면 A의 승리, 둘째 판에서도 B가 이기면 B의 승리입니다.
이렇게 나올 수 있는 경우를 전부 나열하면 네 가지 중 세 가지에서 A가 이기고, 한 가지에서만 B가 이깁니다. 그래서 상금은 4대1이 아니라 3대1로 나누는 것이 공정하다는 결론에 이르렀습니다. 이 과정에서 두 사람은 미래에 일어날 수 있는 사건들을 미리 전부 세어보고 그 비율로 판단한다는, 지금 우리가 확률이라고 부르는 개념의 기초를 세우게 되었습니다.
이 경우의 수를 따지는 과정에서 파스칼은 하나의 표를 정리했습니다. 맨 위에 1을 놓고, 그 아래 줄에는 양 끝에 1을 두고 가운데는 바로 위 두 수를 더해서 채워나가는 삼각형 모양의 수 배열입니다. 셋째 줄은 1, 2, 1이 되고, 넷째 줄은 1, 3, 3, 1이 되는 식입니다.
이 배열은 사실 파스칼보다 먼저 여러 지역의 수학자들이 알고 있었다는 기록이 남아 있지만, 유럽에서는 파스칼이 이 배열의 성질을 체계적으로 정리한 책을 쓰면서 그의 이름이 붙게 되었습니다. 그래서 지금도 이 삼각형을 파스칼의 삼각형이라고 부릅니다.
이 삼각형이 흥미로운 이유는 단순한 숫자 배열이 아니라 조합의 수, 즉 여러 개 중에서 몇 개를 고르는 경우의 수를 그대로 보여주기 때문입니다. 넷째 줄의 1, 3, 3, 1은 서로 다른 물건 3개 중에서 0개, 1개, 2개, 3개를 고르는 방법의 수와 정확히 일치합니다.
동전을 세 번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수의 경우의 수와도 같습니다. 드 메레의 도박 문제에서 시작된 경우의 수 세기가, 결국 이 삼각형 하나로 깔끔하게 정리될 수 있다는 점이 이 이야기의 재미있는 부분입니다.
파스칼은 서른아홉의 나이로 세상을 떠났다고 알려져 있는데, 그 짧은 생애 동안 수학뿐 아니라 철학과 물리학에도 큰 자취를 남겼습니다. 호평동에서 중학교, 고등학교 수학을 공부하는 학생들이 배우는 경우의 수와 확률 단원은, 따지고 보면 17세기에 두 친구가 도박 상금을 어떻게 나눌지 고민하던 편지에서 출발한 셈입니다.
복잡해 보이는 확률 문제를 만났을 때, 가능한 경우를 전부 나열해서 비교해보는 것이 가장 기본이 되는 태도라는 점도 이 이야기에서 배울 수 있습니다.