[호평동 수학학원] 음수의 곱셈, 왜 음수 곱하기 음수는 양수일까 (중1 수학)
핵심 개념
중1 수학에서 정수와 유리수를 배우면서 가장 많이 헷갈려 하는 부분이 바로 음수끼리의 곱셈입니다. 양수 곱하기 양수는 양수, 양수 곱하기 음수는 음수라는 것은 직관적으로 받아들이는 학생들도 음수 곱하기 음수가 왜 양수가 되는지는 쉽게 납득하지 못합니다. 그냥 '규칙이니까 외워라'는 식으로 넘어가면 나중에 분배법칙이나 다항식의 곱셈에서 부호를 자주 틀리게 됩니다.
이 개념이 중요한 이유는 이후에 나오는 모든 계산의 기초가 되기 때문입니다. 일차방정식을 풀 때 양변에 음수를 곱하거나 나누면 부호가 바뀐다는 규칙, 이차함수에서 포물선의 방향이 바뀌는 것, 심지어 고등학교 수열이나 함수의 증감을 따질 때도 결국 음수 곱셈의 부호 규칙이 바탕에 깔려 있습니다.
음수 곱하기 음수가 양수가 되는 이유는 여러 방식으로 설명할 수 있는데, 그중 학생들이 가장 잘 받아들이는 방법은 규칙성을 이용한 설명입니다. 3 × 2 = 6, 3 × 1 = 3, 3 × 0 = 0, 3 × (-1) = -3 처럼 뒤의 수가 1씩 줄어들 때 곱은 3씩 줄어드는 패턴을 이어가면, 3 × (-2) = -6이 되고 이 흐름을 그대로 이어가면 자연스럽게 부호 규칙이 드러납니다.
같은 방식으로 (-3) × 2, (-3) × 1, (-3) × 0을 계산해 보면 -6, -3, 0으로 3씩 늘어나는 패턴이 보이고, 이 패턴을 (-3) × (-1), (-3) × (-2)까지 이어가면 3, 6이 되어 음수 곱하기 음수가 양수가 된다는 것을 숫자의 규칙으로 직접 확인할 수 있습니다. 외운 규칙이 아니라 스스로 패턴을 이어서 찾아낸 결과이기 때문에 훨씬 오래 기억에 남습니다.
공식과 패턴
| 구분 | 공식·형태 | 예시 | 주의 |
|---|---|---|---|
| 기본형 | (양수) × (양수) = 양수, (양수) × (음수) = 음수 | 4 × 3 = 12, 4 × (-3) = -12 | 부호가 다르면 곱은 항상 음수입니다. |
| 핵심형 | (음수) × (음수) = 양수 | (-5) × (-2) = 10 | 규칙성(패턴)으로 직접 확인해 보면 암기보다 이해가 쉽습니다. |
| 확장형 | 음수가 짝수 개면 양수, 홀수 개면 음수 | (-1) × (-2) × (-3) = -6 (음수 3개, 홀수개이므로 음수) | 괄호가 많은 식에서는 음수 개수를 센 뒤 마지막에 절댓값끼리 곱하는 순서로 계산하면 실수가 줄어듭니다. |
난이도별 예제
시험 핵심 포인트
- 부호가 다른 두 수의 곱은 항상 음수, 같은 부호의 두 수의 곱은 항상 양수입니다.
- 음수가 여러 개 곱해진 식은 음수의 개수를 먼저 세는 것이 실수를 줄이는 방법입니다.
- -2²과 (-2)²처럼 괄호의 유무로 제곱 대상이 달라지는 문제는 시험에 자주 나옵니다.
- 음수의 홀수 제곱은 음수, 음수의 짝수 제곱은 양수라는 규칙을 기억해야 합니다.
- 부호 규칙은 단순 암기보다 숫자 규칙성으로 이해해야 이후 문자식 계산에서도 실수가 적습니다.
- 계산 순서를 바꿀 때(교환법칙·결합법칙)도 부호는 그대로 유지되는지 항상 확인해야 합니다.