목록으로
Day 118 호평동 · 남양주 기초

[호평동 바꿈영수학원] 곱셈공식, 외우는 게 아니라 그림으로 보는 겁니다

바꿈 수학학원
2026년 11월 3일 · 11.03

핵심 개념

곱셈공식은 (a+b)² 같은 식을 펼쳐서 정리해 놓은 결과물입니다. 그런데 이 결과만 외우면 시간이 지나면서 부호가 헷갈리거나 항을 빠뜨리는 실수가 생깁니다. a²+2ab+b² 인지 a²+ab+b² 인지 순간적으로 헷갈려 하는 경우가 흔합니다.

이럴 때 효과적인 방법은 한 변의 길이가 (a+b)인 정사각형을 직접 그려보는 것입니다. 정사각형을 가로 a, b 와 세로 a, b 로 나누면 안에 작은 사각형 네 개가 생깁니다. 넓이가 a², ab, ab, b² 인 네 조각이고, 이걸 다 더하면 a²+2ab+b² 가 됩니다.

식을 외우는 게 아니라 넓이를 눈으로 확인하는 것이라, 나중에 공식이 가물가물해져도 그림만 떠올리면 다시 만들어낼 수 있습니다.

합차공식 (a+b)(a-b)=a²-b² 도 마찬가지입니다. 가로 a, 세로 a인 정사각형에서 가로 b, 세로 b인 작은 정사각형을 떼어낸 모양을 생각하면, 남은 넓이가 a²-b² 이고 이걸 직사각형으로 재배치하면 밑변 (a+b), 높이 (a-b)인 직사각형이 됩니다. 두 넓이가 같다는 사실 자체가 공식입니다.

곱셈공식은 중학교 수준에서 끝나는 내용이 아닙니다. 인수분해, 이차방정식, 나아가 고등학교의 근호 계산이나 이차함수 단원까지 계속 쓰이는 도구입니다. 지금 그림으로 원리를 잡아두면 나중에 복잡한 식을 만나도 당황하지 않습니다.

공식과 패턴

구분공식·형태예시주의
기본형(완전제곱식)(a+b)²=a²+2ab+b², (a-b)²=a²-2ab+b²(x+3)²=x²+6x+9가운데 항의 계수 2를 빠뜨리지 않아야 하고, (a-b)²에서는 가운데 항이 음수라는 점을 주의합니다.
기본형(합차공식)(a+b)(a-b)=a²-b²(x+5)(x-5)=x²-25가운데 항은 항상 상쇄되어 사라집니다. 두 수가 완전히 같은 크기이고 부호만 다를 때만 쓸 수 있습니다.
확장형(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab(x+2)(x+4)=x²+6x+8x의 계수는 두 수의 합, 상수항은 두 수의 곱이라는 관계를 기억해두면 인수분해할 때 거꾸로 활용할 수 있습니다.

난이도별 예제

기초
Q.(x+4)² 을 전개하세요.
완전제곱식 공식을 적용하면 x²+2×x×4+4²=x²+8x+16 입니다.
Q.(x-2)(x+2) 를 전개하세요.
합차공식을 적용하면 x²-2²=x²-4 입니다.
중급
Q.(2x+3)² 을 전개하세요.
a=2x, b=3 으로 보면 (2x)²+2×2x×3+3²=4x²+12x+9 입니다.
Q.(3x-1)(3x+1) 을 전개하세요.
합차공식을 적용하면 (3x)²-1²=9x²-1 입니다.
Q.(x+5)(x-3) 을 전개하세요.
확장형 공식을 쓰면 x²+(5-3)x+5×(-3)=x²+2x-15 입니다.
심화
Q.(x+y-2)² 을 전개하세요.
x+y 를 하나의 문자 A로 놓으면 (A-2)²=A²-4A+4 가 됩니다. 다시 풀면 (x+y)²-4(x+y)+4 = x²+2xy+y²-4x-4y+4 입니다.
Q.곱셈공식을 이용해 103×97 을 계산하세요.
103=100+3, 97=100-3 으로 보면 합차공식에 의해 (100+3)(100-3)=100²-3²=10000-9=9991 입니다.

시험 핵심 포인트

  • 완전제곱식 (a±b)² 전개 시 가운데 항의 계수 2를 빠뜨리지 않는다
  • (a-b)² 에서 가운데 항의 부호가 음수임을 기억한다
  • 합차공식은 두 수가 부호만 다르고 크기가 같을 때만 적용된다
  • (x+a)(x+b) 형태에서는 x의 계수가 두 수의 합, 상수항이 두 수의 곱이다
  • 여러 항을 하나의 문자로 치환하면 복잡한 식도 공식을 그대로 적용할 수 있다
  • 공식을 거꾸로 이용하면 두 자리 수 곱셈도 빠르게 계산할 수 있다

자주 묻는 질문

곱셈공식은 왜 외우면 안 되나요?
외워도 되지만 그것만으로는 부족합니다. 암기한 공식은 시간이 지나면 부호나 항을 헷갈리기 쉬운데, 넓이 그림으로 원리를 알아두면 공식이 가물가물해져도 그 자리에서 다시 유도할 수 있습니다. 특히 (a-b)² 처럼 부호가 섞인 공식에서 실수가 잦기 때문에 원리 이해가 더 중요합니다.
완전제곱식과 합차공식의 차이는 무엇인가요?
완전제곱식은 (a+b)²=a²+2ab+b² 처럼 같은 식을 두 번 곱한 형태이고, 합차공식은 (a+b)(a-b)=a²-b² 처럼 부호만 다른 두 식을 곱한 형태입니다. 완전제곱식 전개에는 가운데 항 2ab가 남지만, 합차공식에서는 가운데 항이 서로 상쇄되어 사라진다는 점이 가장 큰 차이입니다.
곱셈공식은 중학교 몇 학년에서 배우나요?
보통 중학교 2학년 과정에서 다루며, 학교에 따라 시기가 조금씩 다를 수 있습니다. 이후 인수분해 단원과 바로 이어지고, 고등학교에 가서도 식을 정리하거나 근호 계산을 할 때 계속 쓰이는 내용입니다.
곱셈공식 문제에서 가장 흔한 실수는 무엇인가요?
(a-b)² 를 전개할 때 가운데 항의 부호를 빠뜨리거나, a²-2ab+b² 대신 a²-ab+b² 처럼 계수를 잘못 쓰는 실수가 흔합니다. 또 괄호 앞에 마이너스가 있는 경우 전체 부호를 바꾸는 것을 잊는 경우도 자주 보입니다.
우리 아이도 어디서 막혔는지 궁금하신가요? 바꿈 수학학원 · 호평동 | 무료 진단 상담을 받아보세요
1:1 상담 신청하기