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Day 1/360
호평동 · 남양주
중급
중3 이차방정식, 고등으로 넘어가는 다리
핵심 개념
중3 2학기에 배우는 이차방정식은 단순히 한 학기 단원으로 끝나는 내용이 아닙니다. 고1 공통수학의 이차함수, 이차부등식, 나아가 고2 수2의 미분까지 전부 이 단원 위에 세워집니다. 그래서 저는 호평동에서 수업할 때 중3 학생에게 이차방정식을 '푸는 방법'만 가르치지 않고 '왜 그렇게 되는지'를 꼭 짚어줍니다.
특히 판별식은 중3 때는 근의 개수만 판단하는 도구로 배우지만, 고등학교에 가면 이차함수와 x축의 교점, 이차부등식의 해까지 전부 판별식 하나로 설명됩니다. 이 연결고리를 미리 이해하고 가면 고1 첫 시험에서 이차함수 단원이 훨씬 수월해집니다.
공식과 패턴
| 구분 | 공식·형태 | 예시 | 주의 |
|---|---|---|---|
| 기본형 | ax²+bx+c=0의 해는 x=(-b±√(b²-4ac))/2a | x²-5x+6=0 → 인수분해 (x-2)(x-3)=0 → x=2 또는 x=3 | 인수분해가 되는지 먼저 확인하고, 안 되면 근의공식을 씁니다. |
| 판별식 | D=b²-4ac로 근의 개수 판단 (D>0: 서로 다른 두 실근, D=0: 중근, D<0: 실근 없음) | x²-4x+4=0 → D=16-16=0 → 중근 x=2 | 고등학교에서는 이 D가 이차함수 그래프와 x축의 교점 개수와 그대로 연결됩니다. |
| 관계식 응용형 | 두 근의 합과 곱: 합=-b/a, 곱=c/a (근과 계수의 관계, 고1 과정 예고) | x²-5x+6=0에서 두 근의 합은 5, 곱은 6 | 중3 때는 몰라도 되지만, 미리 감을 잡아두면 고1 진도가 훨씬 빠릅니다. |
난이도별 예제
기초
Q.x²-7x+12=0을 풀어보세요.
인수분해하면 (x-3)(x-4)=0이므로 x=3 또는 x=4
Q.x²-6x+9=0의 근을 구하세요.
(x-3)²=0이므로 x=3 (중근)
중급
Q.2x²+3x-2=0을 근의공식으로 풀어보세요.
a=2, b=3, c=-2를 대입하면 x=(-3±√(9+16))/4=(-3±5)/4이므로 x=1/2 또는 x=-2
Q.x²+4x+k=0이 중근을 가질 때 k의 값은?
판별식 D=16-4k=0이어야 하므로 k=4
심화
Q.x²-2x+k=0이 서로 다른 두 실근을 가질 때 k의 범위를 구하세요.
D=4-4k>0이어야 하므로 4k<4, 즉 k<1
Q.이차방정식 x²-(m+1)x+m=0이 x=2를 근으로 가질 때 m의 값과 다른 한 근을 구하세요.
x=2 대입: 4-2(m+1)+m=0 → 4-2m-2+m=0 → 2-m=0 → m=2. 방정식은 x²-3x+2=0이 되어 (x-1)(x-2)=0, 다른 근은 x=1
시험 핵심 포인트
- 인수분해가 안 되는 이차방정식은 반드시 근의공식으로 풀 수 있어야 합니다.
- 판별식 D의 부호로 근의 개수(2개, 1개, 0개)를 바로 판단하는 연습이 필요합니다.
- 중근과 완전제곱식의 관계를 눈으로 바로 알아보는 감각이 중요합니다.
- 계수에 문자가 포함된 문제에서 판별식 조건식 세우는 훈련을 미리 해두면 고1 이차함수 단원이 편해집니다.
- 이차방정식과 이차함수 그래프의 관계는 고1 첫 단원에서 바로 나오니 개념을 흘려보내지 않는 것이 좋습니다.
- 근과 계수의 관계는 중3 교과서엔 없지만 알아두면 고1 진도를 따라가기가 훨씬 수월합니다.
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